定理内容

$$ p是素数\Leftrightarrow (p-1)!\equiv-1\ (\text{mod}\ p) $$

证明（口胡）

考虑$[1,p-1]$内的所有整数，他们在$\text{mod}\ p$意义下一定是有逆元的，且他们的逆元一定是小于等于p的

对于上面小结论的证明

由于$p$是素数，我们可以用exgcd构造出方程$ax+bp=\gcd(a,p)$一组解，因此，$[1,p-1]$的整数中，他们一定是有逆元的。

不妨设$a\cdot a^{-1}\equiv1\ \text{mod}\ p$，若$a^{-1}>p$则有，$a\cdot(p+q)\equiv1\ \text{mod}\ p$。

这样以来，我们便得到了一个更小的逆元，原命题得证

然后我们考虑，由于每个数的逆元都是唯一的，如果$p​$是个,偶数，那么，$[1,p-1]​$内的数可以两两配对，与他的逆元相乘得到1，但是注意到，大于2的质数都是奇数。所以当这些数两两配对之后，一定会剩下一个，那么剩下的那个是什么呢？

注意到有一些数的逆元是它自身，这样就没人和他配对了，不妨设$a^2\equiv1$

然后我们就知道$a=1或a=-1$，这样就好办啦

在$[1,p-1]$中，除了$p-1$之外的数相乘都是1，那么$(p-1)!\equiv p-1\equiv-1$

于是就得证口胡成功啦